Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (5x2 − 6x − 8)/(x2 + 6x + 3).

f(x) = (5x2 − 6x − 8)/(x2 + 6x + 3)x → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = 2

Dana jest funkcja f(x) = x3·e0,5x. Wyznacz f′(2).

f(x) = x3·e0,5xx = 2
f′(2) =
4.PochodneTrudny
xyx = 2

Styczna do f(x) = 2x2 − x + 4 w x = 2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 2x2 − x + 4x = 2
b =
5.OptymalizacjaŚredni
xhxbez pokrywki

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 32000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 32000 cm³
x = cm
6.OptymalizacjaTrudny
qP(q)maksimum

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €20 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 500 + 8q + 0,02q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €20C = 500 + 8q + 0,02q²
P = €
7.CałkiŚredni
xy1y = x·cos x

Oblicz I = ∫₀1 x·cos x dx (x w radianach).

∫₀1 x·cos x dx
I =
8.CałkiTrudny
xy2y = 4xy = 2x²

Obszar między prostą y = 4x a parabolą y = 2x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 4xy = 2x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(5 + (−6)/x + (−8)/x2)/(1 + 6/x + 3/x2)

Niech x → ∞

L = 5/1 = 5

Odpowiedź

L = 5

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 4,167

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

5·sin 5x/(6x) → 0/0

Drugie zastosowanie

25·cos 5x/6

Podstaw x = 0

L = 25/6 = 4,167

Odpowiedź

L = 4,167
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 43,49

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(3x2 + 0,5·x3)

Podstaw

f′(2) = 2,718·(12 + 4) = 43,49

Odpowiedź

f′(2) = 43,49
4.Pochodne

Odpowiedź: b = −4

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(2) = 10
f′(x) = 4x − 1 → f′(2) = 7

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 7·2 = −4

Odpowiedź

b = −4
5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 40 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 128000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Wysokość i pole

h = 32000/40² = 20 cm
S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Odpowiedź

x = 40 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 1300 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Funkcja zysku

P(q) = 20q − (500 + 8q + 0,02q²) = −0,02q2 + 12q − 500

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,04 < 0, więc jest to maksimum.

12 − 0,04q = 0 → q = 300

Maksymalny zysk

P = 12·300 − 0,02·300² − 500 = €1300

Odpowiedź

P = €1300
7.Całki

Odpowiedź: I = 0,3818

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Funkcja pierwotna

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Granice

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Odpowiedź

I = 0,3818
8.Całki

Odpowiedź: V = 53,62

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Metoda pierścieni

V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx

Całkuj

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Odpowiedź

V = 53,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1