Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^3x. Podaj wartość dziesiętną.

f(x) = (1 − 2/x)^3xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(x² + 5). Wyznacz f′(3).

f(x) = ln(x² + 5)x = 3

f′(3) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 7,5x² + 18x. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 450 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €40 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €5 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 450 m²€40/m€5/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 70 − 0,1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 3600 + 10q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 70 − 0,1qC = 3600 + 10q

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x w radianach).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.CałkiTrudny

Obszar między prostą y = x a parabolą y = 0,5x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = xy = 0,5x²

V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 0,002479

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Zlogarytmuj

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

Oblicz

ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−2) = −6

Odwróć logarytm

L = e⁻⁶ = 0,002479

Odpowiedź

L = 0,002479

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,125

Pierwsze zastosowanie

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

0,25·e^0,5x/2

Podstaw x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Odpowiedź

L = 0,125

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(3) = 0,4286

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Podstaw

f′(3) = 6/14 = 0,4286

Odpowiedź

f′(3) = 0,4286

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 3

Pochodna

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 2 lub x = 3

Które jest które

f″(x) = 6x − 15: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 3

Odpowiedź

x = 3

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 900 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 45x + 4500/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 9000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(4500/45) = 10 m

y = 450/10 = 45 m

Koszt minimalny

C = 45·10 + 4500/10 = €900

Odpowiedź

C = €900

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 300 szt.

Funkcja zysku

P(q) = (70 − 0,1q)·q − (3600 + 10q) = −0,1q² + 60q − 3600

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,2 < 0, więc jest to maksimum.

q = 60/0,2 = 300

Cena i zysk

p = 70 − 0,1·300 = €40

P = 60·300 − 0,1·300² − 3600 = €5400

Odpowiedź

q = 300

7.Całki

Odpowiedź: I = 0,4069

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Funkcja pierwotna

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Granice

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Odpowiedź

I = 0,4069

8.Całki

Odpowiedź: V = 3,351

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Metoda pierścieni

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Całkuj

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Odpowiedź

V = 3,351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1