Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (2x² − 6x + 8)/(2x² + 3x + 5).

f(x) = (2x² − 6x + 8)/(2x² + 3x + 5)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(2x² + 1). Wyznacz f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 1)x = −1

f′(−1) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 9x² + 15x − 2. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ − 9x² + 15x − 2

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 400 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €25 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €12 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 400 m²€25/m€12/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 110 − 1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 500 + 15q euro. Wyznacz maksymalny tygodniowy zysk P.

p = 110 − 1qC = 500 + 15q

P = €

7.CałkiŚredni

Obszar pod krzywą y = 3x od x = 0 do x = 4 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 3x0 ≤ x ≤ 4

V =

8.CałkiTrudny

Oblicz I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(2 + (−6)/x + 8/x²)/(2 + 3/x + 5/x²)

Niech x → ∞

L = 2/2 = 1

Odpowiedź

L = 1

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,125

Pierwsze zastosowanie

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

0,25·e^0,5x/2

Podstaw x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Odpowiedź

L = 0,125

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −1,333

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Podstaw

f′(−1) = −4/3 = −1,333

Odpowiedź

f′(−1) = −1,333

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 1

Pochodna

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 1 lub x = 5

Które jest które

f″(x) = 6x − 18: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 1

Odpowiedź

x = 1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 1192 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 37x + 9600/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 19200/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(9600/37) = 16,11 m

y = 400/16,11 = 24,83 m

Koszt minimalny

C = 37·16,11 + 9600/16,11 = €1192

Odpowiedź

C = €1192

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 1756 €

Funkcja zysku

P(q) = (110 − 1q)·q − (500 + 15q) = −q² + 95q − 500

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −2 < 0, więc jest to maksimum.

q = 95/2 = 47,5

Cena i zysk

p = 110 − 1·47,5 = €62,5

P = 95·47,5 − 1·47,5² − 500 = €1756

Odpowiedź

P = €1756

7.Całki

Odpowiedź: V = 603,2

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀⁴ 9x² dx

Całkuj

V = π·9·4³/3 = 603,2

Odpowiedź

V = 603,2

Sprawdzenie: stożek o promieniu 12 i wysokości 4 ma (1/3)πr²h = 603,2.

8.Całki

Odpowiedź: I = 0,7183

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Pierwsza runda

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Druga runda

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Granice

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Odpowiedź

I = 0,7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1