Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (−5x² + 5x + 1)/(x² + 5x + 4).

f(x) = (−5x² + 5x + 1)/(x² + 5x + 4)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (−2x − 3)⁵. Wyznacz f′(2).

f(x) = (−2x − 3)⁵x = 2

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² + 3x + 2 w x = −1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² + 3x + 2x = −1

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 32000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 32000 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €45 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 300 + 20q + 0,2q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €45C = 300 + 20q + 0,2q²

P = €

7.CałkiŚredni

Obszar pod krzywą y = 0,5x od x = 0 do x = 2 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 2

V =

8.CałkiTrudny

Oblicz I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(−5 + 5/x + 1/x²)/(1 + 5/x + 4/x²)

Niech x → ∞

L = −5/1 = −5

Odpowiedź

L = −5

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 2,667

Pierwsze zastosowanie

4·sin 4x/(6x) → 0/0

Drugie zastosowanie

16·cos 4x/6

Podstaw x = 0

L = 16/6 = 2,667

Odpowiedź

L = 2,667

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = −24010

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 5·(−2x − 3)⁴·(−2)

Podstaw

f′(2) = 5·(−7)⁴·(−2) = −24010

Odpowiedź

f′(2) = −24010

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −1

Punkt i nachylenie

f(−1) = 2

f′(x) = 6x + 3 → f′(−1) = −3

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−3)·(−1) = −1

Odpowiedź

b = −1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 40 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 128000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Wysokość i pole

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Odpowiedź

x = 40 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 481,3 €

Funkcja zysku

P(q) = 45q − (300 + 20q + 0,2q²) = −0,2q² + 25q − 300

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,4 < 0, więc jest to maksimum.

25 − 0,4q = 0 → q = 62,5

Maksymalny zysk

P = 25·62,5 − 0,2·62,5² − 300 = €481,3

Odpowiedź

P = €481,3

7.Całki

Odpowiedź: V = 2,094

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀² 0,25x² dx

Całkuj

V = π·0,25·2³/3 = 2,094

Odpowiedź

V = 2,094

Sprawdzenie: stożek o promieniu 1 i wysokości 2 ma (1/3)πr²h = 2,094.

8.Całki

Odpowiedź: I = 37,59

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Pierwsza runda

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Druga runda

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Granice

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Odpowiedź

I = 37,59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1