Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (x2 + 4x − 3)/(2x2 + 6x + 8).

f(x) = (x2 + 4x − 3)/(2x2 + 6x + 8)x → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = −1

Dana jest funkcja f(x) = (−2x + 1)3. Wyznacz f′(−1).

f(x) = (−2x + 1)3x = −1
f′(−1) =
4.PochodneTrudny
xyx = −1

Styczna do f(x) = x2 − x − 4 w x = −1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = x2 − x − 4x = −1
b =
5.OptymalizacjaŚredni
strona od ulicy: €30/m€10/myyx

Prostokątna działka o powierzchni 450 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €10 za metr. Wyznacz długość x boku od ulicy, która minimalizuje koszt.

A = 450 m²€30/m€10/m
x = m
6.OptymalizacjaTrudny
qP(q)maksimum

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 60 − 0,5q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 600 + 10q euro. Wyznacz cenę p, która maksymalizuje zysk.

p = 60 − 0,5qC = 600 + 10q
p = €
7.CałkiŚredni
xy4y = √(2x)

Obszar pod krzywą y = √(2x) od x = 0 do x = 4 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (paraboloidy).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.CałkiTrudny
xy1y = 2xy = 2x²

Obszar między prostą y = 2x a parabolą y = 2x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 2xy = 2x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(1 + 4/x + (−3)/x2)/(2 + 6/x + 8/x2)

Niech x → ∞

L = 1/2 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,125

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

(0,5·e0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

0,25·e0,5x/2

Podstaw x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Odpowiedź

L = 0,125
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −54

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 3·(−2x + 1)2·(−2)

Podstaw

f′(−1) = 3·32·(−2) = −54

Odpowiedź

f′(−1) = −54
4.Pochodne

Odpowiedź: b = −5

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(−1) = −2
f′(x) = 2x − 1 → f′(−1) = −3

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−3)·(−1) = −5

Odpowiedź

b = −5
5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 15 m

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 40x + 9000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 18000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(9000/40) = 15 m
y = 450/15 = 30 m

Koszt minimalny

C = 40·15 + 9000/15 = €1200

Odpowiedź

x = 15 m
6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 35 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Funkcja zysku

P(q) = (60 − 0,5q)·q − (600 + 10q) = −0,5q2 + 50q − 600

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −1 < 0, więc jest to maksimum.

q = 50/1 = 50

Cena i zysk

p = 60 − 0,5·50 = €35
P = 50·50 − 0,5·50² − 600 = €650

Odpowiedź

p = €35
7.Całki

Odpowiedź: V = 50,27

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀4 2x dx

Całkuj

V = π·2·4²/2 = 50,27

Odpowiedź

V = 50,27
8.Całki

Odpowiedź: V = 1,676

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Metoda pierścieni

V = π∫₀1 ((2x)² − (2x²)²) dx

Całkuj

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

Odpowiedź

V = 1,676

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1