Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (4x³ + 2x + 3)/(3x³ + 3x + 2).

f(x) = (4x³ + 2x + 3)/(3x³ + 3x + 2)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(x² + 2). Wyznacz f′(−1).

f(x) = ln(x² + 2)x = −1

f′(−1) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 2x² − 2x − 6 w x = 1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 2x² − 2x − 6x = 1

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 600 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €15 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €5 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 600 m²€15/m€5/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €35 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 200 + 24q + 0,05q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €35C = 200 + 24q + 0,05q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x² i y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1,333

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(4 + 2/x² + 3/x³)/(3 + 3/x² + 2/x³)

Niech x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Odpowiedź

L = 1,333

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 2

Pierwsze zastosowanie

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·e^2x/2

Podstaw x = 0

L = 4·1/2 = 2

Odpowiedź

L = 2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −0,6667

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Podstaw

f′(−1) = −2/3 = −0,6667

Odpowiedź

f′(−1) = −0,6667

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −8

Punkt i nachylenie

f(1) = −6

f′(x) = 4x − 2 → f′(1) = 2

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − 2·1 = −8

Odpowiedź

b = −8

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 692,8 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 20x + 6000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 12000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(6000/20) = 17,32 m

y = 600/17,32 = 34,64 m

Koszt minimalny

C = 20·17,32 + 6000/17,32 = €692,8

Odpowiedź

C = €692,8

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 405 €

Funkcja zysku

P(q) = 35q − (200 + 24q + 0,05q²) = −0,05q² + 11q − 200

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,1 < 0, więc jest to maksimum.

11 − 0,1q = 0 → q = 110

Maksymalny zysk

P = 11·110 − 0,05·110² − 200 = €405

Odpowiedź

P = €405

7.Całki

Odpowiedź: I = 3,75

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Odpowiedź

I = 3,75

8.Całki

Odpowiedź: A = 42,67

Punkty przecięcia

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Całkuj górną minus dolną

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Odpowiedź

A = 42,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1