Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (√(4x2 + 5x) − 2x).

f(x) = √(4x2 + 5x) − 2xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(2x), x w radianach. Wyznacz f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
4.PochodneTrudny
xyx = 3

Styczna do f(x) = 0,5x2 − 2x − 1 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x2 − 2x − 1x = 3
b =
5.OptymalizacjaŚredni
rh

Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 355 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni A.

V = 355 cm³
A = cm²
6.OptymalizacjaTrudny
p (€)R(p)10teraz

Teatr sprzedaje 400 biletów na przedstawienie po €10 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 25 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 25 więcej). Wyznacz maksymalny przychód R z jednego przedstawienia.

400 × €1025 / €1
R = €
7.CałkiŚredni
xyπy = x·sin x

Oblicz I = ∫₀π x·sin x dx (x w radianach).

∫₀π x·sin x dx
I =
8.CałkiTrudny
xy2y = 2xy = x²

Obszar między prostą y = 2x a parabolą y = x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 2xy = x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 5x/(√(4x2 + 5x) + 2x)

Podziel przez x

f(x) = 5/(√(4 + 5/x) + 2)

Niech x → ∞

L = 5/(2 + 2) = 1,25

Odpowiedź

L = 1,25
2.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·cos 2x/8

Podstaw x = 0

L = 4/8 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 0,077

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Podstaw

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Odpowiedź

f′(1) = 0,077
4.Pochodne

Odpowiedź: b = −5,5

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(3) = −2,5
f′(x) = x − 2 → f′(3) = 1

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2,5 − 1·3 = −5,5

Odpowiedź

b = −5,5
5.Optymalizacja

Odpowiedź: A = 277,5 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja r

h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r

Przyrównaj pochodną do zera

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, więc jest to minimum.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Wysokość i pole

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm
A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Odpowiedź

A = 277,5 cm²

Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: R = 4225 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 650 − 25p
R(p) = 650p − 25p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −50 < 0, więc jest to maksimum.

p = 650/50 = €13

Maksymalny przychód

n = 650 − 25·13 = 325
R = 13·325 = €4225

Odpowiedź

R = €4225
7.Całki

Odpowiedź: I = 3,142

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Funkcja pierwotna

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Granice

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Odpowiedź

I = 3,142
8.Całki

Odpowiedź: V = 13,4

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Metoda pierścieni

V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx

Całkuj

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Odpowiedź

V = 13,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1