Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² + 6x) − x).

f(x) = √(x² + 6x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (2x − 3)³. Wyznacz f′(−1).

f(x) = (2x − 3)³x = −1

f′(−1) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = x² − 2x + 5 w x = −2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = x² − 2x + 5x = −2

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 13500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 13500 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 150 − 0,2q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 800 + 105q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 150 − 0,2qC = 800 + 105q

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₁³ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 3]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 3

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 6x/(√(x² + 6x) + x)

Podziel przez x

f(x) = 6/(√(1 + 6/x) + 1)

Niech x → ∞

L = 6/(1 + 1) = 3

Odpowiedź

L = 3

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,125

Pierwsze zastosowanie

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

0,25·e^0,5x/2

Podstaw x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Odpowiedź

L = 0,125

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = 150

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 3·(2x − 3)²·2

Podstaw

f′(−1) = 3·(−5)²·2 = 150

Odpowiedź

f′(−1) = 150

4.Pochodne

Odpowiedź: b = 1

Punkt i nachylenie

f(−2) = 13

f′(x) = 2x − 2 → f′(−2) = −6

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − (−6)·(−2) = 1

Odpowiedź

b = 1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 30 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 54000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Wysokość i pole

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Odpowiedź

x = 30 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 112,5 szt.

Funkcja zysku

P(q) = (150 − 0,2q)·q − (800 + 105q) = −0,2q² + 45q − 800

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,4 < 0, więc jest to maksimum.

q = 45/0,4 = 112,5

Cena i zysk

p = 150 − 0,2·112,5 = €127,5

P = 45·112,5 − 0,2·112,5² − 800 = €1731

Odpowiedź

q = 112,5

7.Całki

Odpowiedź: I = 5,493

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 5·ln x

Podstaw granice

I = 5·(ln 3 − ln 1) = 5·ln 3 = 5,493

Odpowiedź

I = 5,493

8.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1