Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(4x² − 5x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 5x) − 2xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(3x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(3x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² + 4x + 2 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² + 4x + 2x = 3

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 400 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €5 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 400 m²€30/m€5/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 140 − 0,5q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 900 + 85q euro. Wyznacz maksymalny tygodniowy zysk P.

p = 140 − 0,5qC = 900 + 85q

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −1,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −5x/(√(4x² − 5x) + 2x)

Podziel przez x

f(x) = −5/(√(4 + (−5)/x) + 2)

Niech x → ∞

L = −5/(2 + 2) = −1,25

Odpowiedź

L = −1,25

2.Granice

Odpowiedź: L = 1,667

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[3·cos 3x]

Podstaw x = 0

L = 5/3 = 1,667

Odpowiedź

L = 1,667

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −1,926

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Podstaw

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Odpowiedź

f′(1,5) = −1,926

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −25

Punkt i nachylenie

f(3) = 41

f′(x) = 6x + 4 → f′(3) = 22

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 41 − 22·3 = −25

Odpowiedź

b = −25

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 748,3 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 35x + 4000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 8000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(4000/35) = 10,69 m

y = 400/10,69 = 37,42 m

Koszt minimalny

C = 35·10,69 + 4000/10,69 = €748,3

Odpowiedź

C = €748,3

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 612,5 €

Funkcja zysku

P(q) = (140 − 0,5q)·q − (900 + 85q) = −0,5q² + 55q − 900

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −1 < 0, więc jest to maksimum.

q = 55/1 = 55

Cena i zysk

p = 140 − 0,5·55 = €112,5

P = 55·55 − 0,5·55² − 900 = €612,5

Odpowiedź

P = €612,5

7.Całki

Odpowiedź: I = 41,33

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Odpowiedź

I = 41,33

8.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1