Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 5x) − x).

f(x) = √(x² − 5x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(x² + 4). Wyznacz f′(2).

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 4. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 4

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 400 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €10 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 400 m²€30/m€10/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Teatr sprzedaje 2300 biletów na przedstawienie po €20 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 50 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 50 więcej). Wyznacz cenę biletu p, która maksymalizuje przychód.

2300 × €2050 / €1

p = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −2,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −5x/(√(x² − 5x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2,5

Odpowiedź

L = −2,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 4,5

Pierwsze zastosowanie

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

9·e^3x/2

Podstaw x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Odpowiedź

L = 4,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 0,5

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Podstaw

f′(2) = 4/8 = 0,5

Odpowiedź

f′(2) = 0,5

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 1

Pochodna

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 1 lub x = 2

Które jest które

f″(x) = 6x − 9: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

Odpowiedź

x = 1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 1131 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 40x + 8000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 16000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(8000/40) = 14,14 m

y = 400/14,14 = 28,28 m

Koszt minimalny

C = 40·14,14 + 8000/14,14 = €1131

Odpowiedź

C = €1131

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 33 €

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 3300 − 50p

R(p) = 3300p − 50p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −100 < 0, więc jest to maksimum.

p = 3300/100 = €33

Maksymalny przychód

n = 3300 − 50·33 = 1650

R = 33·1650 = €54450

Odpowiedź

p = €33

7.Całki

Odpowiedź: I = 3,75

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Odpowiedź

I = 3,75

8.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1