Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (3x² + 6x + 5)/(x² + 4x + 8).

f(x) = (3x² + 6x + 5)/(x² + 4x + 8)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(5x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + x)/sin(5x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(3x² + 4). Wyznacz f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 9x² + 24x + 1. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 1

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 62500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 62500 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €70 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1000 + 38q + 0,05q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €70C = 1000 + 38q + 0,05q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 3

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(3 + 6/x + 5/x²)/(1 + 4/x + 8/x²)

Niech x → ∞

L = 3/1 = 3

Odpowiedź

L = 3

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,2

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[5·cos 5x]

Podstaw x = 0

L = 1/5 = 0,2

Odpowiedź

L = 0,2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−2) = −0,75

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Podstaw

f′(−2) = −12/16 = −0,75

Odpowiedź

f′(−2) = −0,75

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 2

Pochodna

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 2 lub x = 4

Które jest które

f″(x) = 6x − 18: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 2

Odpowiedź

x = 2

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 50 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 250000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Wysokość i pole

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Odpowiedź

x = 50 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 4120 €

Funkcja zysku

P(q) = 70q − (1000 + 38q + 0,05q²) = −0,05q² + 32q − 1000

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,1 < 0, więc jest to maksimum.

32 − 0,1q = 0 → q = 320

Maksymalny zysk

P = 32·320 − 0,05·320² − 1000 = €4120

Odpowiedź

P = €4120

7.Całki

Odpowiedź: I = 1,264

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Podstaw granice

I = (e⁻¹ − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

Odpowiedź

I = 1,264

8.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1