Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² + 5x) − x).

f(x) = √(x² + 5x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x².

f(x) = (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x³·e^0,5x. Wyznacz f′(2).

f(x) = x³·e^0,5xx = 2

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 0,5x² − 2x + 3 w x = 2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x² − 2x + 3x = 2

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 500 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz promień r, przy którym zużywa się najmniej materiału.

V = 500 cm³

r = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 190 − 1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 100 + 160q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 190 − 1qC = 100 + 160q

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁴ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 4]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 2,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 5x/(√(x² + 5x) + x)

Podziel przez x

f(x) = 5/(√(1 + 5/x) + 1)

Niech x → ∞

L = 5/(1 + 1) = 2,5

Odpowiedź

L = 2,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,125

Pierwsze zastosowanie

(−0,5·e^−0,5x + 0,5)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

0,25·e^−0,5x/2

Podstaw x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Odpowiedź

L = 0,125

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 43,49

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(3x² + 0,5·x³)

Podstaw

f′(2) = 2,718·(12 + 4) = 43,49

Odpowiedź

f′(2) = 43,49

4.Pochodne

Odpowiedź: b = 1

Punkt i nachylenie

f(2) = 1

f′(x) = x − 2 → f′(2) = 0

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 0·2 = 1

Odpowiedź

b = 1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: r = 4,301 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja r

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Przyrównaj pochodną do zera

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, więc jest to minimum.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Wysokość i pole

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Odpowiedź

r = 4,301 cm

Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 15 szt.

Funkcja zysku

P(q) = (190 − 1q)·q − (100 + 160q) = −q² + 30q − 100

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −2 < 0, więc jest to maksimum.

q = 30/2 = 15

Cena i zysk

p = 190 − 1·15 = €175

P = 30·15 − 1·15² − 100 = €125

Odpowiedź

q = 15

7.Całki

Odpowiedź: I = 0,6931

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = ln x

Podstaw granice

I = (ln 4 − ln 2) = ln 2 = 0,6931

Odpowiedź

I = 0,6931

8.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1