Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 9x) − x).

f(x) = √(x² − 9x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(x² + 1). Wyznacz f′(2).

f(x) = ln(x² + 1)x = 2

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 4. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 4

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 62500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 62500 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €80 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1600 + 8q + 0,25q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €80C = 1600 + 8q + 0,25q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

8.CałkiTrudny

Obszar między prostą y = 3x a parabolą y = 2x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 3xy = 2x²

V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −4,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −9x/(√(x² − 9x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −9/(√(1 + (−9)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −9/(1 + 1) = −4,5

Odpowiedź

L = −4,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 6,25

Pierwsze zastosowanie

5·sin 5x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

25·cos 5x/4

Podstaw x = 0

L = 25/4 = 6,25

Odpowiedź

L = 6,25

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 0,8

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Podstaw

f′(2) = 4/5 = 0,8

Odpowiedź

f′(2) = 0,8

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 3

Pochodna

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 3 lub x = 6

Które jest które

f″(x) = 6x − 27: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 3

Odpowiedź

x = 3

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 50 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 250000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Wysokość i pole

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Odpowiedź

x = 50 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 3584 €

Funkcja zysku

P(q) = 80q − (1600 + 8q + 0,25q²) = −0,25q² + 72q − 1600

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,5 < 0, więc jest to maksimum.

72 − 0,5q = 0 → q = 144

Maksymalny zysk

P = 72·144 − 0,25·144² − 1600 = €3584

Odpowiedź

P = €3584

7.Całki

Odpowiedź: I = 0,1436

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Funkcja pierwotna

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Granice

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Odpowiedź

I = 0,1436

8.Całki

Odpowiedź: V = 12,72

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Metoda pierścieni

V = π∫₀^1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

Całkuj

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Odpowiedź

V = 12,72

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1