Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (1 + 1/x)2x. Podaj wartość dziesiętną.

f(x) = (1 + 1/x)2xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (e2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e2x − 1 − 2x)/x²x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = −2

Dana jest funkcja f(x) = ln(x2 + 1). Wyznacz f′(−2).

f(x) = ln(x2 + 1)x = −2
f′(−2) =
4.PochodneTrudny
xyx = −2

Styczna do f(x) = 2x2 + 2x − 5 w x = −2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 2x2 + 2x − 5x = −2
b =
5.OptymalizacjaŚredni
xhxbez pokrywki

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 500 cm³
x = cm
6.OptymalizacjaTrudny
qP(q)maksimum

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 130 − 0,5q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 1400 + 35q euro. Wyznacz cenę p, która maksymalizuje zysk.

p = 130 − 0,5qC = 1400 + 35q
p = €
7.CałkiŚredni
xy2y = 2x

Obszar pod krzywą y = 2x od x = 0 do x = 2 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 2x0 ≤ x ≤ 2
V =
8.CałkiTrudny
xy2y = xy = 0,5x²

Obszar między prostą y = x a parabolą y = 0,5x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = xy = 0,5x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 7,389

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Zlogarytmuj

ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

Oblicz

ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·1 = 2

Odwróć logarytm

L = e2 = 7,389

Odpowiedź

L = 7,389
2.Granice

Odpowiedź: L = 2

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

(2·e2x − 2)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·e2x/2

Podstaw x = 0

L = 4·1/2 = 2

Odpowiedź

L = 2
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−2) = −0,8

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x2 + 1)

Podstaw

f′(−2) = −4/5 = −0,8

Odpowiedź

f′(−2) = −0,8
4.Pochodne

Odpowiedź: b = −13

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(−2) = −1
f′(x) = 4x + 2 → f′(−2) = −6

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−6)·(−2) = −13

Odpowiedź

b = −13
5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 10 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 2000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Wysokość i pole

h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Odpowiedź

x = 10 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 82,5 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Funkcja zysku

P(q) = (130 − 0,5q)·q − (1400 + 35q) = −0,5q2 + 95q − 1400

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −1 < 0, więc jest to maksimum.

q = 95/1 = 95

Cena i zysk

p = 130 − 0,5·95 = €82,5
P = 95·95 − 0,5·95² − 1400 = €3113

Odpowiedź

p = €82,5
7.Całki

Odpowiedź: V = 33,51

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀2 4x² dx

Całkuj

V = π·4·2³/3 = 33,51

Odpowiedź

V = 33,51

Sprawdzenie: stożek o promieniu 4 i wysokości 2 ma (1/3)πr²h = 33,51.

8.Całki

Odpowiedź: V = 3,351

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Metoda pierścieni

V = π∫₀2 ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Całkuj

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Odpowiedź

V = 3,351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1