Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Które stwierdzenie o funkcji rekurencyjnej bez osiągalnego przypadku bazowego jest poprawne?

  1. AWywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
  2. BAutomatycznie zwraca 0
  3. CKompilator zawsze zamienia ją na pętlę, która kończy się bezpiecznie
  4. DDziała w czasie O(1)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy NP jest poprawna?

  1. AProblemy, których nie da się rozwiązać w czasie wielomianowym
  2. BProblemy decyzyjne, których odpowiedzi „tak" można zweryfikować w czasie wielomianowym na podstawie certyfikatu
  3. CProblemy, których nie rozwiązuje żaden algorytm
  4. DProblemy, które nie są wielomianowe
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. AStos
  2. BNieposortowana lista wiązana
  3. CZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  4. DTablica mieszająca
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego serwer może losowo wybierać funkcję mieszającą z rodziny uniwersalnej?

  1. ABy tablica mieszająca była posortowana
  2. BBy wyeliminować potrzebę zmiany rozmiaru tablicy
  3. CBy zagwarantować, że żadne dwa klucze nigdy nie będą kolidować, jakie klucze by nie wysłał atakujący
  4. DBy było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
74910141121ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Bez przypadku bazowego rekurencja nigdy się nie kończy; w praktyce brakuje pamięci na ramki stosu i program się zawiesza.

Odpowiedź

A · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Problemy decyzyjne, których odpowiedzi „tak" można zweryfikować w czasie wielomianowym na podstawie certyfikatu

Dlaczego to jest odpowiedź

W problemie NP proponowane rozwiązanie (certyfikat) można szybko sprawdzić, np. zweryfikować, że dane wartościowanie spełnia formułę logiczną.

Odpowiedź

B · Problemy decyzyjne, których odpowiedzi „tak" można zweryfikować w czasie wielomianowym na podstawie certyfikatu
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy haszowaniu uniwersalnym oczekiwana liczba kolizji jest mała dla dowolnego zbioru kluczy, bo atakujący nie wie, którą funkcję wybrano.

Odpowiedź

D · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 7, C: 4
2. C (4): E: 18
3. B (7): D: 17, E: 8
4. E (8): F: 10
5. F (10)
6. D (17)

runda 4

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms