Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

AKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
BOptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
CProblem można rozwiązać w czasie stałym
DProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy NP jest poprawna?

AProblemy, które nie są wielomianowe
BProblemy decyzyjne, których odpowiedzi „tak" można zweryfikować w czasie wielomianowym na podstawie certyfikatu
CProblemy, których nie rozwiązuje żaden algorytm
DProblemy, których nie da się rozwiązać w czasie wielomianowym

3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia preorder?

A4 2 5 1 3
B4 5 2 3 1
C1 2 3 4 5
D1 2 4 5 3

4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

ABy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
BBo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
CBy utrzymać tablicę posortowaną
DBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów

5.Teoria grafówŚredni

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7

1Cykl Eulera
2Ścieżka Eulera, bez cyklu
3ani jedno, ani drugie

6.Teoria grafówTrudny

Ile jest marszów o długości 2 z E do B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2

N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

B · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Problemy decyzyjne, których odpowiedzi „tak" można zweryfikować w czasie wielomianowym na podstawie certyfikatu

Dlaczego to jest odpowiedź

W problemie NP proponowane rozwiązanie (certyfikat) można szybko sprawdzić, np. zweryfikować, że dane wartościowanie spełnia formułę logiczną.

Odpowiedź

B · Problemy decyzyjne, których odpowiedzi „tak" można zweryfikować w czasie wielomianowym na podstawie certyfikatu

3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 1 2 4 5 3

Dlaczego to jest odpowiedź

Preorder odwiedza 1, potem jego lewe poddrzewo (2, 4, 5), potem 3; pozostałe odpowiedzi to inorder, postorder i przejście poziomami.

Odpowiedź

D · 1 2 4 5 3

4.Struktury danych

Odpowiedź: A · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

A · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Wierzchołki nieparzyste

D, F → 2

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. K_n ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 0 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)_EB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms