Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa standardowego algorytmu programowania dynamicznego dla najdłuższego wspólnego podciągu napisów o długościach m i n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(2m+n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czy 22n należy do O(2ⁿ)?

  1. ATak, bo obie funkcje są wykładnicze
  2. BNie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
  3. CTak, bo stałe czynniki w wykładniku zawsze się pomija w notacji dużego O
  4. DNie, bo 22n rośnie wolniej niż 2ⁿ
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(V²)
  2. BO(E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.Struktury danychTrudny

Obiekt jest przechowywany jako klucz w mapie mieszającej, a następnie zmienia się pole używane przez jego funkcję mieszającą. Jaki jest prawdopodobny skutek?

  1. AMapa zgłasza błąd w chwili zmiany pola
  2. BMapa automatycznie przenosi klucz do nowego kubełka
  3. CNic się nie zmienia, bo skrót klucza oblicza się tylko raz przy uruchomieniu programu
  4. DWyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 4, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 4
L =
6.Teoria grafówTrudny
1617311158ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(mn)

Dlaczego to jest odpowiedź

Tablica ma (m + 1)(n + 1) komórek, a każda jest obliczana w O(1) z sąsiednich.

Odpowiedź

C · O(mn)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

Dlaczego to jest odpowiedź

Stała dodana do wykładnika daje stały czynnik, ale stała mnożąca wykładnik zmienia podstawę i tempo wzrostu.

Odpowiedź

B · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

A · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Położenie klucza wybrano na podstawie jego starego skrótu; przy nowym skrócie wyszukiwanie przeszukuje niewłaściwy kubełek, więc klucze powinny być niezmienne.

Odpowiedź

D · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Odpowiedź

L = 6

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 25

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

CE (1): weź
BC (3): weź
DE (5): weź
BE (8): pomiń, zamyka cykl
BD (11): pomiń, zamyka cykl
AB (16): weź

Łączna waga

W = 1 + 3 + 5 + 16 = 25

Odpowiedź

W = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms