Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile mniej więcej porównań potrzebuje wyszukiwanie binarne w najgorszym przypadku w posortowanej tablicy 1,000,000 elementów?

  1. AOkoło 20
  2. BOkoło 1,000
  3. COkoło 100
  4. DOkoło 500,000
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm Strassena mnoży macierze, używając 7 zamiast 8 rekurencyjnych mnożeń bloków o połowie rozmiaru. Jaki jest jego czas działania?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(nlog₂ 7), około n2,81
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(n³)
3.Struktury danychŚredni

Węzeł binarnego drzewa poszukiwań ma prawe poddrzewo. Gdzie jest jego następnik w porządku inorder?

  1. AW skrajnie prawym węźle jego lewego poddrzewa
  2. BW skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
  3. CZawsze w jego rodzicu
  4. DZawsze w jego prawym dziecku
4.Struktury danychTrudny

Usunięcie węzła z dwojgiem dzieci z binarnego drzewa poszukiwań wykonuje się zwykle przez:

  1. AZbudowanie od nowa poddrzewa poniżej węzła i ponowne wstawienie wszystkich zawartych w nim kluczy
  2. BZastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
  3. CUsunięcie całego poddrzewa
  4. DZamianę go z korzeniem
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 17, liczba krawędzi 28. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 17|E| = 28
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 3, które zaczynają się i kończą w D? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Około 20

Dlaczego to jest odpowiedź

220 ≈ 1,048,576, więc po około 20 połowieniach zostaje tylko jeden element.

Odpowiedź

A · Około 20
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(nlog₂ 7), około n2,81

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy a = 7 i b = 2 nlog₂ 7 dominuje nad pracą O(n²) na dodawania, co daje około n2,81.

Odpowiedź

B · Θ(nlog₂ 7), około n2,81
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie większe klucze bliskie węzłowi są w jego prawym poddrzewie, a najmniejszy z nich to tamtejszy skrajnie lewy węzeł.

Odpowiedź

B · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

Dlaczego to jest odpowiedź

Następnik in-order ma co najwyżej jedno dziecko, więc można go łatwo usunąć po skopiowaniu jego klucza do usuwanego węzła.

Odpowiedź

B · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

17 − 1 = 16

Krawędzie do usunięcia

k = 28 − 16 = 12

Odpowiedź

k = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 4

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)DD = 0·0 + 1·1 + 2·0 + 3·0 + 2·1 + 1·1 = 4

Odpowiedź

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms