Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego algorytm Dijkstry może dawać błędne wyniki, gdy niektóre wagi krawędzi są ujemne?

  1. ADziała tylko na grafach nieskierowanych
  2. BNa każdej ujemnej krawędzi wpada w nieskończoną pętlę
  3. CLiczb ujemnych nie można przechowywać w kolejce priorytetowej
  4. DWierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
3.Struktury danychŚredni

Co jest prawdą o macierzy sąsiedztwa grafu nieskierowanego?

  1. AJest symetryczna względem głównej przekątnej
  2. BNa jej głównej przekątnej zawsze są jedynki
  3. CKażdy wiersz ma dokładnie jedną jedynkę
  4. DJest zawsze górnotrójkątna
4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

  1. ABy utrzymać tablicę posortowaną
  2. BBo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
  3. CBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów
  4. DBy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
101142310714ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n poziomów ze stałą pracą na każdym, jak przy rekurencyjnym sumowaniu tablicy.

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę

Dlaczego to jest odpowiedź

Krok zachłanny opiera się na nieujemnych wagach, dzięki którym pobrane odległości są ostateczne; gdy wagi mogą być ujemne, stosuje się Bellmana–Forda.

Odpowiedź

D · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Jest symetryczna względem głównej przekątnej

Dlaczego to jest odpowiedź

W grafie nieskierowanym krawędź {u, v} oznacza ustawienie zarówno M[u][v], jak i M[v][u], więc macierz jest równa swojej transpozycji.

Odpowiedź

A · Jest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

D · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 22

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 10, C: 1
C (1)
B (10): D: 12, E: 24
D (12): E: 15, F: 22
E (15)
F (22)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 22

Odpowiedź

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms