Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile mniej więcej porównań potrzebuje wyszukiwanie binarne w najgorszym przypadku w posortowanej tablicy 1,000,000 elementów?

  1. AOkoło 20
  2. BOkoło 100
  3. COkoło 1,000
  4. DOkoło 500,000
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie dwie rzeczy trzeba wykazać, aby udowodnić, że problem decyzyjny X jest NP-zupełny?

  1. AX należy do P, a X redukuje się do SAT
  2. BX należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
  3. CX nie ma algorytmu wielomianowego, a X jest rozstrzygalny
  4. DX redukuje się do problemu z P, a X należy do NP
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego kopiec binarny można przechowywać w tablicy bez żadnych wskaźników?

  1. AWszystkie klucze w kopcu są równe
  2. BKopce nigdy nie zawierają więcej niż 100 elementów
  3. CTablice automatycznie utrzymują klucze w kolejności posortowanej, więc wskaźniki nie są potrzebne
  4. DJest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. AGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  2. BOczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  3. CPrzechowuje klucze bez uporządkowania
  4. DNie zużywa dodatkowej pamięci
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 33 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
1920581611312ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Około 20

Dlaczego to jest odpowiedź

220 ≈ 1,048,576, więc po około 20 połowieniach zostaje tylko jeden element.

Odpowiedź

A · Około 20
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przynależność do NP pokazuje, że X nie jest trudniejszy niż NP; redukcja ze znanego problemu NP-zupełnego pokazuje, że X jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP.

Odpowiedź

B · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zupełność oznacza brak luk, więc dzieci indeksu i zawsze znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2.

Odpowiedź

D · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

B · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 15

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Odpowiedź

L = 15

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DF (1)
2. BC (5)
3. BD (8)
4. BE (12)
5. AB (19)

numer krawędzi 2

BC

Odpowiedź

krawędź BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms