Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa mnożenia dwóch macierzy n × n standardową potrójną pętlą?

  1. AO(n²)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Wzięcie obu końców każdej krawędzi w skojarzeniu maksymalnym (w sensie zawierania) daje pokrycie wierzchołkowe. Jak dobre jest to pokrycie?

  1. AZawsze jest minimalnym pokryciem wierzchołkowym
  2. BNajwyżej log n razy większe niż minimum
  3. CNajwyżej dwa razy większe niż minimalne pokrycie wierzchołkowe
  4. DO nieznanej jakości w porównaniu z optimum
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa działający program do śledzenia aktywnych wywołań funkcji i ich zmiennych lokalnych?

  1. AKolejki pamięci sterty
  2. BBinarnego drzewa poszukiwań ramek
  3. CTablicy mieszającej funkcji
  4. DStosu wywołań
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest pesymistyczny koszt pojedynczej operacji find w strukturze union-find z n elementami bez łączenia według rangi (union by rank) i bez kompresji ścieżek?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 33 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
74332424143ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n² elementów, a każdy wymaga n mnożeń, co daje n³ operacji.

Odpowiedź

D · O(n³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Najwyżej dwa razy większe niż minimalne pokrycie wierzchołkowe

Dlaczego to jest odpowiedź

Krawędzie skojarzenia nie mają wspólnych wierzchołków, więc optimum potrzebuje co najmniej jednego wierzchołka na krawędź, a ta metoda bierze dwa: to 2-aproksymacja.

Odpowiedź

C · Najwyżej dwa razy większe niż minimalne pokrycie wierzchołkowe
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Stosu wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde wywołanie odkłada ramkę stosu, a każdy powrót ją zdejmuje, dlatego najpóźniejsze wywołanie kończy się jako pierwsze.

Odpowiedź

D · Stosu wywołań
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Naiwne łączenie może połączyć drzewa w długi łańcuch, więc find może przejść n − 1 wskaźników do rodziców; obie heurystyki sprowadzają koszt niemal do stałego.

Odpowiedź

A · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 13

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 27 = 2(L + 8) − 2
L = 13

Odpowiedź

L = 13

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 10

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 7, C: 4
C (4): E: 6, G: 18
E (6): D: 10, F: 10
B (7)
D (10): G: 13
F (10)
G (13)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 10

Odpowiedź

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms