Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Która reguła zachłanna w problemie wyboru zajęć zawsze daje maksymalną liczbę nienakładających się zajęć?

  1. AWybierz zajęcie, które zaczyna się najwcześniej
  2. BWybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim
  3. CWybierz najpierw najkrótsze zajęcie
  4. DWybierz najpierw zajęcie z najmniejszą liczbą kolizji, a potem powtarzaj dla zgodnych zajęć
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem jest NP-zupełny, jeśli:

  1. ADa się go rozwiązać w czasie wielomianowym
  2. BLeży poza NP, ale jest trudniejszy od wszystkich problemów NP, jak problem stopu
  3. CNależy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
  4. DNie da się go rozwiązać
3.Struktury danychŚredni

Co się dzieje, gdy tablica mieszająca wykonuje rehashing po przekroczeniu progu współczynnika zapełnienia?

  1. ANajstarsze klucze są usuwane, by zrobić miejsce
  2. BIstniejące klucze są sortowane w miejscu
  3. CAlokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
  4. DTylko kolidujące klucze są przenoszone na nową listę nadmiarową na końcu tablicy
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest pesymistyczny koszt pojedynczej operacji find w strukturze union-find z n elementami bez łączenia według rangi (union by rank) i bez kompresji ścieżek?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 7, liczba krawędzi 14. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 7|E| = 14
k =
6.Teoria grafówTrudny
15781813191ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalność wyboru najwcześniejszego czasu zakończenia można udowodnić argumentem wymiany; dla pozostałych reguł istnieją kontrprzykłady.

Odpowiedź

B · Wybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Problemy NP-zupełne są najtrudniejsze w NP; wielomianowy algorytm dla jednego z nich dałby wielomianowy algorytm dla całej klasy NP.

Odpowiedź

C · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ indeks oblicza się modulo rozmiar tablicy, wszystkie klucze trzeba ponownie zahaszować do nowej, większej tablicy; przy podwajaniu koszt zamortyzowany pozostaje O(1).

Odpowiedź

C · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Naiwne łączenie może połączyć drzewa w długi łańcuch, więc find może przejść n − 1 wskaźników do rodziców; obie heurystyki sprowadzają koszt niemal do stałego.

Odpowiedź

B · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

7 − 1 = 6

Krawędzie do usunięcia

k = 14 − 6 = 8

Odpowiedź

k = 8
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 34

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BE (1): weź
AC (7): weź
BC (8): weź
CE (13): pomiń, zamyka cykl
AB (15): pomiń, zamyka cykl
BD (18): weź

Łączna waga

W = 1 + 7 + 8 + 18 = 34

Odpowiedź

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms