Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jak algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające?

  1. AUsuwa najdroższą krawędź, dopóki nie znikną cykle
  2. BSortuje wszystkie krawędzie według wagi i dodaje każdą, o ile nie utworzy cyklu w lesie
  3. CRozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
  4. DUruchamia przeszukiwanie wszerz i zachowuje drzewo BFS
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który algorytm znajduje minimalne drzewo rozpinające, wielokrotnie dodając najtańszą krawędź, która nie tworzy cyklu?

  1. AAlgorytm Dijkstry
  2. BAlgorytm Floyda–Warshalla
  3. CAlgorytm Kruskala
  4. DAlgorytm Prima startujący z jednego wierzchołka
3.Struktury danychŚredni

Drzewo trie (drzewo prefiksowe) jest szczególnie wydajne przy:

  1. AWyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
  2. BSortowaniu liczb
  3. CZnajdowaniu najkrótszych ścieżek
  4. DPrzechowywaniu macierzy
4.Struktury danychTrudny

W BST z korzeniem 50, lewym poddrzewem 30 (dzieci 20, 40) i prawym poddrzewem 70 (dzieci 60, 80) usuwa się korzeń przy użyciu następnika w porządku inorder. Który klucz zostaje nowym korzeniem?

  1. A60
  2. B70
  3. C40
  4. D80
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
1514351161314ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(E) najkrótszej ścieżki z A do E w grafie ważonym.

start: Akoniec: E
d(E) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Prima z kolejką priorytetową krawędzi przekrojowych działa w czasie O(E log V) przy kopcu binarnym.

Odpowiedź

C · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Algorytm Kruskala

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Kruskala sortuje krawędzie według wag i dodaje je, jeśli łączą różne składowe; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego.

Odpowiedź

C · Algorytm Kruskala
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu

Dlaczego to jest odpowiedź

Trie przechowuje napisy znak po znaku wzdłuż ścieżek, więc wyszukiwanie i zapytania o prefiks zajmują czas proporcjonalny do długości klucza.

Odpowiedź

A · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · 60

Dlaczego to jest odpowiedź

Skrajnie lewy węzeł prawego poddrzewa to 60, więc 60 zastępuje 50, a jego dawna pozycja zostaje usunięta; użycie poprzednika dałoby 40.

Odpowiedź

A · 60
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(E) = 25

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 15, C: 14
C (14): E: 25
B (15): D: 20
D (20): F: 26
E (25)
F (26)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E
d(E) = 25

Odpowiedź

d(E) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms