Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for j = 1 to i: wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. A3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
  2. BSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
  3. C2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
  4. DOgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
3.Struktury danychŚredni

Jak działa extract-min w binarnym kopcu minimalnym?

  1. AUsuwa się ostatni element tablicy
  2. BPrzeszukuje się wszystkie liście w poszukiwaniu nowego minimum
  3. CPrzenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
  4. DUsuwa się korzeń i przesuwa wszystkie elementy o jedno miejsce w lewo
4.Struktury danychTrudny

Czym drzewo radix (skompresowane trie) przewyższa zwykłe trie?

  1. APrzechowuje każde słowo w tablicy mieszającej w korzeniu zamiast w osobnych węzłach
  2. BŁączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
  3. CZachowuje tylko pierwszą literę każdego słowa
  4. DSortuje dzieci każdego węzła według częstości
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 17, liczba krawędzi 28. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 17|E| = 28
k =
6.Teoria grafówTrudny
8811282146141ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(D) najkrótszej ścieżki z A do D w grafie ważonym.

start: Akoniec: D
d(D) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wnętrze pętli wewnętrznej wykonuje się łącznie n(n + 1) / 2 razy, co nadal jest kwadratowe.

Odpowiedź

C · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

C · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół

Dlaczego to jest odpowiedź

Ostatni element wypełnia lukę w korzeniu i jest zamieniany z mniejszym dzieckiem, dopóki nie zostanie spełniona własność kopca, co zajmuje O(log n).

Odpowiedź

C · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków

Dlaczego to jest odpowiedź

Zwinięcie ścieżek bez rozgałęzień zmniejsza liczbę węzłów i zużycie pamięci przy zachowaniu wyszukiwania po prefiksie.

Odpowiedź

B · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

17 − 1 = 16

Krawędzie do usunięcia

k = 28 − 16 = 12

Odpowiedź

k = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(D) = 20

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 8, C: 8
B (8): D: 20, G: 14
C (8): E: 16
G (14): E: 15
E (15): F: 29
D (20): F: 22
F (22)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D
d(D) = 20

Odpowiedź

d(D) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms