Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile pamięci stosu zużywa prosta rekurencyjna funkcja silni fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego każde wyszukiwanie oparte na porównaniach w posortowanej tablicy wymaga w najgorszym przypadku Ω(log n) porównań?

  1. AWyszukiwanie binarne jest jedynym możliwym algorytmem i wymaga log₂ n porównań
  2. BKażdy element musi być porównany co najmniej raz
  3. CKażde porównanie zajmuje czas logarytmiczny
  4. DDrzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa przeszukiwanie w głąb (DFS) w wersji iteracyjnej?

  1. AWyłącznie tablicy mieszającej
  2. BKopca
  3. CStosu
  4. DKolejki
4.Struktury danychTrudny

Które stwierdzenie o sortowaniu przez kopcowanie (heapsort) jest poprawne?

  1. AWymaga binarnego drzewa poszukiwań jako dodatkowej pamięci, więc zużywa O(n) pamięci dodatkowej
  2. BJest stabilne i wymaga O(n) dodatkowej pamięci
  3. CSortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
  4. DDziała w czasie O(n) dla każdych danych wejściowych
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
83111514857ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Rekurencja ma głębokość n wywołań, zanim którekolwiek wróci, a każde wywołanie potrzebuje ramki stosu, więc zużywa O(n) pamięci.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde porównanie co najwyżej o połowę zmniejsza zbiór pozostałych możliwości, więc rozróżnienie n pozycji wymaga co najmniej log₂ n porównań.

Odpowiedź

D · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

DFS schodzi jak najgłębiej, naturalnie korzystając ze stosu (lub stosu wywołań rekurencji); BFS używa kolejki.

Odpowiedź

C · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne

Dlaczego to jest odpowiedź

Heapsort buduje kopiec maksymalny i n razy wyciąga maksimum w obrębie tej samej tablicy; zamiany na duże odległości mogą zmienić kolejność równych kluczy.

Odpowiedź

C · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 8, C: 3
2. C (3): E: 17
3. B (8): D: 23, E: 15
4. E (15): F: 20
5. F (20)
6. D (23)

runda 4

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms