Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Programowanie dynamiczne jest przydatne, gdy problem ma:

  1. AWyłącznie losowe dane wejściowe
  2. BŻadnych podproblemów, więc można go rozwiązać w jednym kroku
  3. CNakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
  4. DPojedynczą pętlę
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Mnożenie Karacuby spełnia T(n) = 3T(n/2) + O(n). Jakie jest rozwiązanie?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(nlog₂ 3), około n1,585
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n²)
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego kopiec binarny można przechowywać w tablicy bez żadnych wskaźników?

  1. AJest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
  2. BWszystkie klucze w kopcu są równe
  3. CTablice automatycznie utrzymują klucze w kolejności posortowanej, więc wskaźniki nie są potrzebne
  4. DKopce nigdy nie zawierają więcej niż 100 elementów
4.Struktury danychTrudny

Do czego służy struktura union-find w algorytmie Kruskala wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego?

  1. ADo przechowywania bieżącej odległości każdego wierzchołka od źródła w trakcie przeszukiwania
  2. BDo sortowania krawędzi według wag
  3. CDo sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
  4. DDo wyboru wierzchołka początkowego
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1488961111894ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

Dlaczego to jest odpowiedź

Zapamiętywanie wyników nakładających się podproblemów (memoizacja lub tablicowanie) pozwala uniknąć powtarzania pracy, zamieniając algorytmy wykładnicze w wielomianowe.

Odpowiedź

C · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej dominują liście, co pokonuje szkolną metodę O(n²).

Odpowiedź

B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zupełność oznacza brak luk, więc dzieci indeksu i zawsze znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2.

Odpowiedź

A · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone

Dlaczego to jest odpowiedź

Find mówi, czy oba końce są w tej samej składowej; jeśli nie, krawędź zostaje dodana, a union łączy składowe.

Odpowiedź

C · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 34

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): C: 14
C (14): B: 22, E: 23, G: 23
B (22): D: 30
E (23): D: 29, F: 34
G (23): D: 27
D (27)
F (34)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 34

Odpowiedź

d(F) = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms