Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. APorządek topologiczny w O(V²)
  2. BMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  3. CNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
  4. DNajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego wyszukiwanie binarne nie daje czasu O(log n) na liście jednokierunkowej?

  1. AList nie da się posortować
  2. BDotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
  3. CPorównania na węzłach listy są wolniejsze
  4. DWyszukiwanie binarne wymaga co najmniej dwa razy więcej pamięci
3.Struktury danychŚredni

Tablica mieszająca o rozmiarze 7 używa h(k) = k mod 7 i próbkowania liniowego. Gdzie zostanie zapisane 17 po wstawieniu 10?

  1. APod indeksem 3
  2. BPod indeksem 6
  3. CPod indeksem 4
  4. DPod indeksem 0
4.Struktury danychTrudny

Do czego służy struktura union-find w algorytmie Kruskala wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego?

  1. ADo wyboru wierzchołka początkowego
  2. BDo sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
  3. CDo sortowania krawędzi według wag
  4. DDo przechowywania bieżącej odległości każdego wierzchołka od źródła w trakcie przeszukiwania
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 11, liczba krawędzi 21. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 11|E| = 21
k =
6.Teoria grafówTrudny
79993141333410ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

C · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyszukiwanie binarne wymaga dostępu O(1) do środka; na liście dojście tam kosztuje czas liniowy, więc całość to O(n).

Odpowiedź

B · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Pod indeksem 4

Dlaczego to jest odpowiedź

10 mod 7 = 3 i 17 mod 7 = 3; indeks 3 jest zajęty, więc próbkowanie liniowe sprawdza następną pozycję, indeks 4.

Odpowiedź

C · Pod indeksem 4
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone

Dlaczego to jest odpowiedź

Find mówi, czy oba końce są w tej samej składowej; jeśli nie, krawędź zostaje dodana, a union łączy składowe.

Odpowiedź

B · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

11 − 1 = 10

Krawędzie do usunięcia

k = 21 − 10 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 25

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 7, C: 9
B (7): D: 16, G: 10
C (9): E: 12
G (10): D: 14
E (12): F: 25
D (14)
F (25)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 25

Odpowiedź

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms