Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile poziomów ma rekurencja sortowania przez scalanie dla tablicy n elementów?

  1. AOkoło log₂ n
  2. BOkoło n / 2
  3. COkoło √n
  4. DOkoło n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego wyszukiwanie binarne nie daje czasu O(log n) na liście jednokierunkowej?

  1. AList nie da się posortować
  2. BWyszukiwanie binarne wymaga co najmniej dwa razy więcej pamięci
  3. CPorównania na węzłach listy są wolniejsze
  4. DDotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
3.Struktury danychŚredni

Co jest prawdą o macierzy sąsiedztwa grafu nieskierowanego?

  1. AJest zawsze górnotrójkątna
  2. BKażdy wiersz ma dokładnie jedną jedynkę
  3. CNa jej głównej przekątnej zawsze są jedynki
  4. DJest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest koszt czasowy i dodatkowy pamięciowy odwrócenia listy jednokierunkowej w miejscu?

  1. ACzas O(n log n) i dodatkowa pamięć O(1)
  2. BCzas O(1) i dodatkowa pamięć O(1)
  3. CCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
  4. DCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(n)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 3 z F do B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Około log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowienie od n do 1 wymaga około log₂ n poziomów, a każdy poziom wykonuje O(n) pracy scalania, co daje O(n log n).

Odpowiedź

A · Około log₂ n
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyszukiwanie binarne wymaga dostępu O(1) do środka; na liście dojście tam kosztuje czas liniowy, więc całość to O(n).

Odpowiedź

D · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Jest symetryczna względem głównej przekątnej

Dlaczego to jest odpowiedź

W grafie nieskierowanym krawędź {u, v} oznacza ustawienie zarówno M[u][v], jak i M[v][u], więc macierz jest równa swojej transpozycji.

Odpowiedź

D · Jest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Utrzymywanie trzech wskaźników (poprzedni, bieżący, następny) pozwala odwrócić każde połączenie w jednym przebiegu bez alokowania nowych węzłów.

Odpowiedź

C · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 23

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 49 = 2(L + 14) − 2
L = 23

Odpowiedź

L = 23

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)FB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 1·0 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms