Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. AProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  2. BSortowanie przez scalanie już jest O(n)
  3. CJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
  4. DSortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem stopu pokazuje, że:

  1. AKażdy program w końcu się zatrzymuje
  2. BNiektóre programy działają szybciej na szybszych komputerach, więc zatrzymanie zależy od sprzętu
  3. CŻaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
  4. DNależy unikać pętli
3.Struktury danychŚredni

Jak wstawia się nowy element do kopca binarnego?

  1. AUmieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca
  2. BWstawia się go na właściwą posortowaną pozycję, przesuwając o jedno miejsce w prawo wszystkie większe elementy
  3. CBuduje się cały kopiec od nowa
  4. DUmieszcza się go w korzeniu i przesuwa w dół
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego w tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym usuwanie wykonuje się często za pomocą znacznika „nagrobka” (tombstone)?

  1. AOpróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
  2. BDzięki temu tablica staje się posortowana
  3. CUsunięte klucze muszą być przechowywane na zawsze ze względów bezpieczeństwa, więc miejsc nigdy nie można użyć ponownie
  4. DNagrobki przyspieszają haszowanie
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 20, liczba krawędzi 26. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 20|E| = 26
k =
6.Teoria grafówTrudny
8851016144ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

C · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma

Dlaczego to jest odpowiedź

Turing wykazał, że problem stopu jest nierozstrzygalny: założenie, że istnieje rozstrzygający go algorytm, prowadzi do sprzeczności z programem, który robi coś przeciwnego.

Odpowiedź

C · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca

Dlaczego to jest odpowiedź

Dodanie na końcu zachowuje zupełność drzewa; zamiany z rodzicem przywracają porządek w O(log n) krokach.

Odpowiedź

A · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby usunięte miejsce stało się puste, późniejsze wyszukiwania mogłyby zatrzymać się za wcześnie i pominąć klucze umieszczone dalej w łańcuchu sondowania.

Odpowiedź

A · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 7

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

20 − 1 = 19

Krawędzie do usunięcia

k = 26 − 19 = 7

Odpowiedź

k = 7
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 25

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): C: 8
C (8): B: 16, E: 18
B (16): D: 21
E (18): D: 19, F: 32
D (19): F: 25
F (25)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → D → F
d(F) = 25

Odpowiedź

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms