Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Algorytm zachłanny:

  1. ASprawdza każde możliwe rozwiązanie
  2. BZawsze daje rozwiązanie optymalne
  3. CUżywa wyłącznie rekurencji
  4. DW każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czy 22n należy do O(2ⁿ)?

  1. ATak, bo stałe czynniki w wykładniku zawsze się pomija w notacji dużego O
  2. BNie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
  3. CTak, bo obie funkcje są wykładnicze
  4. DNie, bo 22n rośnie wolniej niż 2ⁿ
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. ANieposortowana lista wiązana
  2. BZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  3. CStos
  4. DTablica mieszająca
4.Struktury danychTrudny

Która struktura pozwala obliczyć maksimum każdego okna o rozmiarze k w tablicy w łącznym czasie O(n)?

  1. AKopiec minimalny budowany od nowa dla każdego okna
  2. BDeque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
  3. CPosortowana tablica aktualizowana przez przesuwanie
  4. DLista jednokierunkowa elementów okna
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 18, liczba krawędzi 21. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 18|E| = 21
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w A? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytmy zachłanne są szybkie i dla niektórych problemów optymalne (np. algorytm Dijkstry, kodowanie Huffmana), ale nie w ogólności (np. wydawanie reszty przy niektórych systemach monet).

Odpowiedź

D · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

Dlaczego to jest odpowiedź

Stała dodana do wykładnika daje stały czynnik, ale stała mnożąca wykładnik zmienia podstawę i tempo wzrostu.

Odpowiedź

B · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

B · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości

Dlaczego to jest odpowiedź

Początek deque jest zawsze maksimum okna; każdy indeks raz do niej wchodzi i raz z niej wychodzi, więc praca jest liniowa.

Odpowiedź

B · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 4

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

18 − 1 = 17

Krawędzie do usunięcia

k = 21 − 17 = 4

Odpowiedź

k = 4
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms