Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa standardowego algorytmu programowania dynamicznego dla najdłuższego wspólnego podciągu napisów o długościach m i n?

  1. AO(mn)
  2. BO(m + n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dla którego wariantu problemu plecakowego reguła zachłanna „bierz przedmioty według wartości na jednostkę wagi" zawsze daje optymalną odpowiedź?

  1. ACiągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
  2. BObu wariantów
  3. CŻadnego z wariantów
  4. DDyskretnego problemu plecakowego 0/1, w którym przedmioty zawsze trzeba brać w całości
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa się, by sprawdzić, czy nawiasy w „{[()]}” są zrównoważone?

  1. AKolejki
  2. BBinarnego drzewa poszukiwań
  3. CTablicy mieszającej
  4. DStosu
4.Struktury danychTrudny

Która struktura pozwala obliczyć maksimum każdego okna o rozmiarze k w tablicy w łącznym czasie O(n)?

  1. AKopiec minimalny budowany od nowa dla każdego okna
  2. BPosortowana tablica aktualizowana przez przesuwanie
  3. CDeque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
  4. DLista jednokierunkowa elementów okna
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 3, które zaczynają się i kończą w D? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(mn)

Dlaczego to jest odpowiedź

Tablica ma (m + 1)(n + 1) komórek, a każda jest obliczana w O(1) z sąsiednich.

Odpowiedź

A · O(mn)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy przedmioty można dzielić, wybór najpierw najlepszego stosunku jest optymalny; w problemie 0/1 przedmiot o wysokim stosunku może zablokować lepszą kombinację, więc potrzebne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

A · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy nawias otwierający odkłada się na stos (push), a przy nawiasie zamykającym zdejmuje (pop); musi pasować do zdjętego nawiasu, a na końcu stos musi być pusty.

Odpowiedź

D · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości

Dlaczego to jest odpowiedź

Początek deque jest zawsze maksimum okna; każdy indeks raz do niej wchodzi i raz z niej wychodzi, więc praca jest liniowa.

Odpowiedź

C · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 14

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Odpowiedź

L = 14

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Jeszcze jeden krok

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 3·0 + 1·1 + 0·1 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms