Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Funkcja wykonuje jedną pętlę n iteracji, a potem osobno drugą pętlę n iteracji. Jaka jest jej złożoność czasowa?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem stopu pokazuje, że:

  1. ANależy unikać pętli
  2. BŻaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
  3. CNiektóre programy działają szybciej na szybszych komputerach, więc zatrzymanie zależy od sprzętu
  4. DKażdy program w końcu się zatrzymuje
3.Struktury danychŚredni

Ile czasu zajmuje sprawdzenie, czy istnieje krawędź (u, v), przy użyciu macierzy sąsiedztwa?

  1. AO(V)
  2. BO(1)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego serwer może losowo wybierać funkcję mieszającą z rodziny uniwersalnej?

  1. ABy tablica mieszająca była posortowana
  2. BBy zagwarantować, że żadne dwa klucze nigdy nie będą kolidować, jakie klucze by nie wysłał atakujący
  3. CBy wyeliminować potrzebę zmiany rozmiaru tablicy
  4. DBy było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
18109131516165ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

n + n = 2n, a stałe czynniki się pomija, więc funkcja jest O(n).

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma

Dlaczego to jest odpowiedź

Turing wykazał, że problem stopu jest nierozstrzygalny: założenie, że istnieje rozstrzygający go algorytm, prowadzi do sprzeczności z programem, który robi coś przeciwnego.

Odpowiedź

B · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Element macierzy w wierszu u i kolumnie v od razu mówi, czy krawędź istnieje; przy listach sąsiedztwa może być potrzebne przejrzenie sąsiadów u.

Odpowiedź

B · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy haszowaniu uniwersalnym oczekiwana liczba kolizji jest mała dla dowolnego zbioru kluczy, bo atakujący nie wie, którą funkcję wybrano.

Odpowiedź

D · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 14 = 2(L + 4) − 2
L = 8

Odpowiedź

L = 8

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 55

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

GC (1): weź
GE (5): weź
GD (6): weź
CE (9): pomiń, zamyka cykl
BD (10): weź
DE (13): pomiń, zamyka cykl
DF (15): weź
EF (16): pomiń, zamyka cykl
AB (18): weź

Łączna waga

W = 1 + 5 + 6 + 10 + 15 + 18 = 55

Odpowiedź

W = 55

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms