Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile poziomów ma rekurencja sortowania przez scalanie dla tablicy n elementów?

  1. AOkoło n
  2. BOkoło log₂ n
  3. COkoło n / 2
  4. DOkoło √n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm programowania dynamicznego Helda–Karpa rozwiązuje dokładnie problem komiwojażera. Jaki jest jego czas działania dla n miast?

  1. AO(n!)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia preorder?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
4.Struktury danychTrudny

Którą własność musi spełniać drzewo czerwono-czarne?

  1. AKorzeń musi być czerwony
  2. BKażda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
  3. CKażdy czerwony węzeł musi mieć czerwone dzieci, więc czerwone węzły zawsze tworzą nieprzerwane łańcuchy aż do liści
  4. DKażdy węzeł musi być czerwony
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 10, liczba krawędzi 21. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 10|E| = 21
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 2 z C do A? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Około log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowienie od n do 1 wymaga około log₂ n poziomów, a każdy poziom wykonuje O(n) pracy scalania, co daje O(n log n).

Odpowiedź

B · Około log₂ n
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n² 2ⁿ)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest około n 2ⁿ stanów, każdy obliczany w O(n); to czas wykładniczy, ale znacznie szybszy niż sprawdzanie wszystkich (n − 1)! tras.

Odpowiedź

D · O(n² 2ⁿ)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 1 2 4 5 3

Dlaczego to jest odpowiedź

Preorder odwiedza 1, potem jego lewe poddrzewo (2, 4, 5), potem 3; pozostałe odpowiedzi to inorder, postorder i przejście poziomami.

Odpowiedź

B · 1 2 4 5 3
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów

Dlaczego to jest odpowiedź

Zasady drzewa czerwono-czarnego: węzły są czerwone lub czarne, korzeń jest czarny, czerwone węzły mają czarne dzieci, a wszystkie ścieżki mają równą czarną wysokość, co utrzymuje wysokość ≤ 2 log₂(n + 1).

Odpowiedź

B · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

10 − 1 = 9

Krawędzie do usunięcia

k = 21 − 9 = 12

Odpowiedź

k = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 0·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms