Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Który algorytm znajduje najkrótsze ścieżki z jednego źródła w grafie o nieujemnych wagach krawędzi?

  1. AAlgorytm Kruskala
  2. BWe wszystkich przypadkach wymagany jest algorytm Bellmana–Forda
  3. CPrzeszukiwanie w głąb (DFS)
  4. DAlgorytm Dijkstry
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. ANależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  2. BWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  3. CJest nierozstrzygalny
  4. DWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danychŚredni

W binarnym kopcu minimalnym przechowywanym w tablicy (indeksowanie od 0) dzieci węzła o indeksie i znajdują się na pozycjach:

  1. A2i i 2i + 1
  2. B2i + 1 i 2i + 2
  3. Ci + 1 i i + 2
  4. Di/2 i i/2 + 1
4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

  1. ABy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
  2. BBo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
  3. CBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów
  4. DBy utrzymać tablicę posortowaną
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
2313764141214ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Algorytm Dijkstry

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Dijkstry działa dla wag nieujemnych; algorytm Bellmana–Forda obsługuje wagi ujemne; algorytm Kruskala buduje minimalne drzewa rozpinające.

Odpowiedź

D · Algorytm Dijkstry
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 2i + 1 i 2i + 2

Dlaczego to jest odpowiedź

W tablicach indeksowanych od 0 lewe dziecko jest pod 2i + 1, prawe pod 2i + 2, a rodzic pod ⌊(i − 1)/2⌋.

Odpowiedź

B · 2i + 1 i 2i + 2
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

A · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Odpowiedź

L = 11

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 21

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 2, C: 3
B (2): D: 9, E: 16
C (3): E: 9
D (9): F: 23
E (9): F: 21
F (21)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 21

Odpowiedź

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms