Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. APorządek topologiczny w O(V²)
  2. BMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  3. CNajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
  4. DNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. ANależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  2. BJest nierozstrzygalny
  3. CWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  4. DWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danychŚredni

Drzewa AVL i drzewa czerwono-czarne gwarantują:

  1. AWyszukiwanie w czasie stałym w każdym przypadku
  2. BWysokość O(log n) dzięki równoważeniu
  3. CŻe żaden węzeł nie ma dwojga dzieci
  4. DPrzechowywanie kluczy w kolejności wstawiania
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. AGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  2. BNie zużywa dodatkowej pamięci
  3. COczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  4. DPrzechowuje klucze bez uporządkowania
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 4, 4× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
4511988111ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

D · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wysokość O(log n) dzięki równoważeniu

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewa samorównoważące utrzymują wysokość logarytmiczną, więc wyszukiwanie, wstawianie i usuwanie mają w najgorszym przypadku złożoność O(log n).

Odpowiedź

B · Wysokość O(log n) dzięki równoważeniu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 24

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 48 = 2(L + 13) − 2
L = 24

Odpowiedź

L = 24

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 16

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 4, C: 5
B (4): D: 13, E: 5
C (5)
E (5): F: 16
D (13)
F (16)

Najkrótsza ścieżka

A → B → E → F
d(F) = 16

Odpowiedź

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms