Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. An! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  2. B2ⁿ rośnie szybciej niż n!
  3. Cn! jest O(n²)
  4. DRosną w tym samym tempie
3.Struktury danychŚredni

Jak znaleźć najmniejszy klucz w binarnym drzewie poszukiwań?

  1. AOdwiedzić każdy liść i porównać je
  2. BIść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
  3. CIść od korzenia do prawych dzieci, aż zabraknie prawego dziecka
  4. DSprawdzić tylko korzeń
4.Struktury danychTrudny

Ile trwa wyszukanie dowolnego klucza w binarnym kopcu minimalnym o n elementach?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 3
L =
6.Teoria grafówTrudny
318192154108ABCDEF

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka B. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2.

start: Bk = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

B · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

A · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka

Dlaczego to jest odpowiedź

W drzewie nie ma klucza mniejszego niż w skrajnie lewym węźle, więc jest on minimum; koszt jest proporcjonalny do wysokości.

Odpowiedź

B · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiec nie daje reguły, które poddrzewo zawiera klucz, więc w najgorszym przypadku trzeba sprawdzić wszystkie węzły; szybko można znaleźć tylko minimum.

Odpowiedź

A · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 4

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Odpowiedź

L = 4

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. AB (3)
2. BE (8)
3. CE (2)
4. EF (10)
5. DF (4)

numer krawędzi 2

BE

Odpowiedź

krawędź BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms