Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Który algorytm sortowania jest stabilny?

  1. ASortowanie szybkie (typowa wersja w miejscu)
  2. BSortowanie przez kopcowanie
  3. CSortowanie przez wybieranie (typowa wersja)
  4. DSortowanie przez scalanie
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o notacji małego o jest poprawne?

  1. An = o(n), bo każda funkcja jest małym o samej siebie
  2. B2n = o(n), bo 2n rośnie wolno
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmują listy sąsiedztwa dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.Struktury danychTrudny

Węzeł AVL jest niezrównoważony, bo prawe poddrzewo jego lewego dziecka stało się zbyt wysokie (przypadek lewo-prawo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. APojedynczą rotację w prawo w węźle
  2. BRotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  3. CRotację w prawo w lewym dziecku, a potem rotację w lewo w węźle
  4. DPojedynczą rotację w lewo w węźle
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
81013141812206161917ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Sortowanie przez scalanie

Dlaczego to jest odpowiedź

Sortowanie przez scalanie jest stabilne, jeśli przy remisach scalanie bierze najpierw element z lewej połowy. Quicksort w miejscu, sortowanie przez kopcowanie i sortowanie przez wybieranie zwykle nie są stabilne.

Odpowiedź

D · Sortowanie przez scalanie
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · n = o(n²), ale n nie jest o(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

f = o(g) oznacza, że f(n) / g(n) dąży do 0; n / n² dąży do 0, ale n / n = 1 nie.

Odpowiedź

D · n = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(V + E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy wierzchołek ma listę, a każda krawędź pojawia się raz (graf skierowany) lub dwa razy (nieskierowany), co daje O(V + E).

Odpowiedź

C · O(V + E)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

Pierwsza rotacja zamienia przypadek lewo-prawo w przypadek lewo-lewo, który następnie naprawia rotacja w prawo w niezrównoważonym węźle.

Odpowiedź

B · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

C, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 66

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (6): weź
AB (8): weź
AC (10): weź
DE (12): weź
BC (13): pomiń, zamyka cykl
BD (14): weź
GB (16): weź

Łączna waga

W = 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66

Odpowiedź

W = 66

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms