Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który algorytm znajduje minimalne drzewo rozpinające, wielokrotnie dodając najtańszą krawędź, która nie tworzy cyklu?

  1. AAlgorytm Kruskala
  2. BAlgorytm Floyda–Warshalla
  3. CAlgorytm Prima startujący z jednego wierzchołka
  4. DAlgorytm Dijkstry
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest złożoność czasowa wyszukiwania klucza w zrównoważonym binarnym drzewie poszukiwań?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Struktury danychTrudny

Klucze 5, 3, 8, 1 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego kopca minimalnego opartego na tablicy. Jak wygląda końcowa tablica?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 7, liczba krawędzi 17. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 7|E| = 17
k =
6.Teoria grafówTrudny
1591514510145ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(E) najkrótszej ścieżki z A do E w grafie ważonym.

start: Akoniec: E
d(E) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Pętla wewnętrzna wykonuje się około log₂ n razy dla każdej z n iteracji zewnętrznych, co daje O(n log n).

Odpowiedź

A · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Algorytm Kruskala

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Kruskala sortuje krawędzie według wag i dodaje je, jeśli łączą różne składowe; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego.

Odpowiedź

A · Algorytm Kruskala
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo zrównoważone ma wysokość około log₂ n, więc wyszukiwanie przechodzi jedną ścieżką od korzenia do liścia.

Odpowiedź

D · O(log n)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · [1, 3, 8, 5]

Dlaczego to jest odpowiedź

Po 5, 3, 8 tablica to [3, 5, 8]; 1 trafia pod indeks 3, zamienia się z rodzicem 5, a potem z 3, co daje [1, 3, 8, 5].

Odpowiedź

B · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

7 − 1 = 6

Krawędzie do usunięcia

k = 17 − 6 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(E) = 20

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 15, C: 9
C (9)
B (15): D: 29, E: 20
E (20): D: 25, F: 34
D (25)
F (34)

Najkrótsza ścieżka

A → B → E
d(E) = 20

Odpowiedź

d(E) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms