Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Sortujesz raz tablicę n elementów, a potem odpowiadasz na k zapytań o przynależność za pomocą wyszukiwania binarnego. Jaki jest łączny koszt?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dyskretny problem plecakowy (0/1) rozwiązany programowaniem dynamicznym zajmuje czas O(nW). Dlaczego nazywa się to złożonością pseudowielomianową?

  1. AW jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
  2. BPonieważ działa tylko dla W = 0
  3. CPonieważ algorytm jest randomizowany, a jego czas działania zmienia się przy każdych danych
  4. DPonieważ n jest zawsze małe
3.Struktury danychŚredni

Węzeł binarnego drzewa poszukiwań ma prawe poddrzewo. Gdzie jest jego następnik w porządku inorder?

  1. AZawsze w jego rodzicu
  2. BW skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
  3. CW skrajnie prawym węźle jego lewego poddrzewa
  4. DZawsze w jego prawym dziecku
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest koszt czasowy i dodatkowy pamięciowy odwrócenia listy jednokierunkowej w miejscu?

  1. ACzas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
  2. BCzas O(1) i dodatkowa pamięć O(1)
  3. CCzas O(n log n) i dodatkowa pamięć O(1)
  4. DCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(n)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K4
H =
6.Teoria grafówTrudny
191414109691063ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n + k log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Sortowanie kosztuje O(n log n), a każde zapytanie O(log n); przy dużym k jest to lepsze niż k przeszukań liniowych (O(nk)).

Odpowiedź

A · O(n log n + k log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W

Dlaczego to jest odpowiedź

Czas działania jest wielomianowy względem wartości W, ale wykładniczy względem jej długości (log W bitów); dyskretny problem plecakowy jest NP-zupełny.

Odpowiedź

A · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie większe klucze bliskie węzłowi są w jego prawym poddrzewie, a najmniejszy z nich to tamtejszy skrajnie lewy węzeł.

Odpowiedź

B · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Utrzymywanie trzech wskaźników (poprzedni, bieżący, następny) pozwala odwrócić każde połączenie w jednym przebiegu bez alokowania nowych węzłów.

Odpowiedź

A · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 21

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 1, C: 9
B (1): D: 15, G: 10
C (9): E: 19
G (10): E: 13
E (13)
D (15): F: 21
F (21)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 21

Odpowiedź

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms