Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest zamortyzowana złożoność czasowa dodawania elementu na koniec tablicy dynamicznej, która podwaja swoją pojemność, gdy się zapełni?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Mnożenie Karacuby spełnia T(n) = 3T(n/2) + O(n). Jakie jest rozwiązanie?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(nlog₂ 3), około n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Struktury danychŚredni

Jaki warunek zrównoważenia utrzymuje drzewo AVL w każdym węźle?

  1. AOba poddrzewa każdego węzła zawierają dokładnie tyle samo węzłów
  2. BWszystkie liście są na dokładnie tej samej głębokości
  3. CKażdy węzeł jest pokolorowany na czerwono lub czarno
  4. DWysokości lewego i prawego poddrzewa różnią się co najwyżej o 1
4.Struktury danychTrudny

Która struktura pozwala obliczyć maksimum każdego okna o rozmiarze k w tablicy w łącznym czasie O(n)?

  1. ALista jednokierunkowa elementów okna
  2. BKopiec minimalny budowany od nowa dla każdego okna
  3. CPosortowana tablica aktualizowana przez przesuwanie
  4. DDeque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
51215617101814ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiowanie wszystkich elementów następuje tylko przy potęgach dwójki; po rozłożeniu na wszystkie operacje dodawania średni koszt jednej operacji jest stały.

Odpowiedź

B · O(1)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej dominują liście, co pokonuje szkolną metodę O(n²).

Odpowiedź

B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Wysokości lewego i prawego poddrzewa różnią się co najwyżej o 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Współczynnik zrównoważenia (wysokość lewego − wysokość prawego) musi wynosić −1, 0 lub 1; po wstawieniach i usunięciach przywracają go rotacje.

Odpowiedź

D · Wysokości lewego i prawego poddrzewa różnią się co najwyżej o 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości

Dlaczego to jest odpowiedź

Początek deque jest zawsze maksimum okna; każdy indeks raz do niej wchodzi i raz z niej wychodzi, więc praca jest liniowa.

Odpowiedź

D · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 39

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (1): weź
BD (2): weź
AC (5): weź
DF (6): weź
GB (10): weź
GD (14): pomiń, zamyka cykl
CE (15): weź

Łączna waga

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 10 + 15 = 39

Odpowiedź

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms