Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa mnożenia dwóch macierzy n × n standardową potrójną pętlą?

AO(n³)
BO(n)
CO(n² log n)
DO(n²)

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które ograniczenie jest poprawne dla log(n!)?

AΘ(n²)
BΘ(n)
CΘ(n log n)
DΘ(log n)

3.Struktury danychŚredni

Ile węzłów ma doskonałe drzewo binarne o wysokości h, gdy wysokość liczy się w krawędziach?

Ah²
B2^h+1 − 1
C2h + 1
D2^h

4.Struktury danychTrudny

Dlaczego ze standardowego filtru Blooma nie można po prostu usuwać elementów przez zerowanie ich bitów?

ATe bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
BUsuwanie zwiększyłoby odsetek wyników fałszywie pozytywnych do 100%
CFiltry Blooma przechowują całe elementy, których po zahaszowaniu nie da się ponownie zlokalizować
DBitów w filtrze Blooma nie można zmieniać po jego utworzeniu

5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K₅? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K₅

H =

6.Teoria grafówTrudny

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n² elementów, a każdy wymaga n mnożeń, co daje n³ operacji.

Odpowiedź

A · O(n³)

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Θ(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

log(n!) ≤ n log n, a n / 2 największych czynników daje log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); dlatego sortowanie przez porównania wymaga Ω(n log n).

Odpowiedź

C · Θ(n log n)

3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 2^h+1 − 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma 1 + 2 + 4 + ... + 2^h daje 2^h+1 − 1; np. wysokość 2 daje 7 węzłów.

Odpowiedź

B · 2^h+1 − 1

4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyzerowanie wspólnego bitu sprawiłoby, że inny element wyglądałby na nieobecny; zliczające filtry Blooma przechowują liczniki zamiast bitów, by umożliwić usuwanie.

Odpowiedź

A · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Odpowiedź

H = 12

6.Teoria grafów

Odpowiedź: B

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 12, C: 3

2. C (3): B: 10, E: 6

3. E (6): D: 21, F: 9

4. F (9)

5. B (10)

6. D (21)

runda 5

Odpowiedź

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms