Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Mnożenie Karacuby spełnia T(n) = 3T(n/2) + O(n). Jakie jest rozwiązanie?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(nlog₂ 3), około n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.Struktury danychŚredni

Kolejkę zaimplementowano za pomocą dwóch stosów: push na stos „in”, a pop ze stosu „out”, który, gdy jest pusty, uzupełnia się ze stosu „in”. Jaki jest zamortyzowany koszt jednej operacji?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest oczekiwany czas wyszukiwania przy prostym równomiernym haszowaniu w tablicy mieszającej z metodą łańcuchową, n kluczami i m kubełkami?

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α), gdzie α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K4
H =
6.Teoria grafówTrudny
51191618315201410ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Praca sumuje się do około n² / 2; to rekurencja sortowania przez wybieranie lub quicksorta z najgorszym elementem osiowym.

Odpowiedź

D · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej dominują liście, co pokonuje szkolną metodę O(n²).

Odpowiedź

B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy element jest łącznie co najwyżej dwa razy odkładany i zdejmowany, więc choć jedno uzupełnienie może zająć O(n), średnia w ciągu operacji wynosi O(1).

Odpowiedź

A · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(1 + α), gdzie α = n / m

Dlaczego to jest odpowiedź

Obliczenie funkcji mieszającej kosztuje O(1), a oczekiwana długość łańcucha to α, więc utrzymywanie ograniczonego α przez zmianę rozmiaru daje oczekiwany czas O(1).

Odpowiedź

B · O(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 56

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (3): weź
AB (5): weź
BC (9): weź
GE (10): weź
AC (11): pomiń, zamyka cykl
GD (14): weź
GB (15): weź

Łączna waga

W = 3 + 5 + 9 + 10 + 14 + 15 = 56

Odpowiedź

W = 56

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms