Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for j = 1 to i: wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy P jest poprawna?

  1. AProblemy, które można rozwiązać równolegle
  2. BProblemy wymagające czasu wykładniczego na każdym komputerze
  3. CProblemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
  4. DProblemy, których rozwiązania można sprawdzić, ale nigdy nie znaleźć w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Masz referencję do węzła w środku listy. W której liście możesz go usunąć w O(1)?

  1. AW liście jednokierunkowej
  2. BW posortowanej tablicy
  3. CW liście dwukierunkowej
  4. DW tablicy dynamicznej
4.Struktury danychTrudny

Która własność sprawia, że każde B-drzewo jest idealnie zrównoważone?

  1. AKlucze są przechowywane tylko w korzeniu
  2. BKażdy węzeł przechowuje jeden klucz
  3. CKażdy węzeł ma dokładnie dwoje dzieci
  4. DWszystkie liście są na tej samej głębokości
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
101510141012118944ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wnętrze pętli wewnętrznej wykonuje się łącznie n(n + 1) / 2 razy, co nadal jest kwadratowe.

Odpowiedź

A · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

P zawiera problemy decyzyjne z deterministycznym algorytmem wielomianowym, np. sprawdzanie, czy graf jest spójny.

Odpowiedź

C · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · W liście dwukierunkowej

Dlaczego to jest odpowiedź

Węzeł listy dwukierunkowej zna swojego poprzednika, więc można bezpośrednio połączyć prev z next; w liście jednokierunkowej trzeba szukać poprzednika.

Odpowiedź

C · W liście dwukierunkowej
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Wszystkie liście są na tej samej głębokości

Dlaczego to jest odpowiedź

Pełne węzły dzielą się w górę, a drzewo staje się wyższe tylko przy podziale korzenia, więc wszystkie liście zawsze pozostają na tym samym poziomie.

Odpowiedź

D · Wszystkie liście są na tej samej głębokości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 25, D: 20, G: 18
3. G (18): E: 22
4. D (20): F: 32
5. E (22)
6. C (25)
7. F (32)

runda 5

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms