Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Algorytm zachłanny:

  1. AZawsze daje rozwiązanie optymalne
  2. BUżywa wyłącznie rekurencji
  3. CSprawdza każde możliwe rozwiązanie
  4. DW każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego każde wyszukiwanie oparte na porównaniach w posortowanej tablicy wymaga w najgorszym przypadku Ω(log n) porównań?

  1. AKażde porównanie zajmuje czas logarytmiczny
  2. BDrzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
  3. CKażdy element musi być porównany co najmniej raz
  4. DWyszukiwanie binarne jest jedynym możliwym algorytmem i wymaga log₂ n porównań
3.Struktury danychŚredni

Tablica mieszająca o rozmiarze 7 używa h(k) = k mod 7 i próbkowania liniowego. Gdzie zostanie zapisane 17 po wstawieniu 10?

  1. APod indeksem 3
  2. BPod indeksem 4
  3. CPod indeksem 6
  4. DPod indeksem 0
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. ANie zużywa dodatkowej pamięci
  2. BGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  3. COczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  4. DPrzechowuje klucze bez uporządkowania
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytmy zachłanne są szybkie i dla niektórych problemów optymalne (np. algorytm Dijkstry, kodowanie Huffmana), ale nie w ogólności (np. wydawanie reszty przy niektórych systemach monet).

Odpowiedź

D · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde porównanie co najwyżej o połowę zmniejsza zbiór pozostałych możliwości, więc rozróżnienie n pozycji wymaga co najmniej log₂ n porównań.

Odpowiedź

B · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Pod indeksem 4

Dlaczego to jest odpowiedź

10 mod 7 = 3 i 17 mod 7 = 3; indeks 3 jest zajęty, więc próbkowanie liniowe sprawdza następną pozycję, indeks 4.

Odpowiedź

B · Pod indeksem 4
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms