Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego średni czas wyszukiwania w tablicy mieszającej wynosi O(1), a w najgorszym przypadku O(n)?

  1. AFunkcje skrótu są wolne
  2. BKlucze muszą być najpierw posortowane
  3. CWiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
  4. DDostęp do tablic ma złożoność O(n)
3.Struktury danychŚredni

Jak działa extract-min w binarnym kopcu minimalnym?

  1. AUsuwa się korzeń i przesuwa wszystkie elementy o jedno miejsce w lewo
  2. BPrzeszukuje się wszystkie liście w poszukiwaniu nowego minimum
  3. CUsuwa się ostatni element tablicy
  4. DPrzenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
4.Struktury danychTrudny

Obiekt jest przechowywany jako klucz w mapie mieszającej, a następnie zmienia się pole używane przez jego funkcję mieszającą. Jaki jest prawdopodobny skutek?

  1. AMapa automatycznie przenosi klucz do nowego kubełka
  2. BWyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
  3. CNic się nie zmienia, bo skrót klucza oblicza się tylko raz przy uruchomieniu programu
  4. DMapa zgłasza błąd w chwili zmiany pola
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 12, liczba krawędzi 15. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 12|E| = 15
k =
6.Teoria grafówTrudny
94864374ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n poziomów ze stałą pracą na każdym, jak przy rekurencyjnym sumowaniu tablicy.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dobrej funkcji skrótu i odpowiednim współczynniku zapełnienia kubełki są średnio krótkie; złośliwie dobrane dane lub słaba funkcja skrótu mogą umieścić wszystkie klucze w jednym kubełku.

Odpowiedź

C · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół

Dlaczego to jest odpowiedź

Ostatni element wypełnia lukę w korzeniu i jest zamieniany z mniejszym dzieckiem, dopóki nie zostanie spełniona własność kopca, co zajmuje O(log n).

Odpowiedź

D · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Położenie klucza wybrano na podstawie jego starego skrótu; przy nowym skrócie wyszukiwanie przeszukuje niewłaściwy kubełek, więc klucze powinny być niezmienne.

Odpowiedź

B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 4

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

12 − 1 = 11

Krawędzie do usunięcia

k = 15 − 11 = 4

Odpowiedź

k = 4
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 17

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 9, C: 4
C (4): E: 10
B (9)
E (10): D: 14, F: 17
D (14)
F (17)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 17

Odpowiedź

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms