Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co ustaliło twierdzenie Cooka–Levina?

  1. AProblem stopu jest nierozstrzygalny
  2. BP nie jest równe NP
  3. CProblem spełnialności formuł logicznych (SAT) jest NP-zupełny
  4. DKażdy problem NP można rozwiązać w czasie wykładniczym
3.Struktury danychŚredni

Do czego służy węzeł wartownika (sentinel, węzeł pozorny) w liście wiązanej?

  1. AUpraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
  2. BSprawia, że lista jest posortowana
  3. CZapobiega wydłużaniu się listy ponad ustaloną maksymalną liczbę węzłów
  4. DPrzechowuje liczbę elementów
4.Struktury danychTrudny

Którą własność musi spełniać drzewo czerwono-czarne?

  1. AKażda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
  2. BKażdy czerwony węzeł musi mieć czerwone dzieci, więc czerwone węzły zawsze tworzą nieprzerwane łańcuchy aż do liści
  3. CKażdy węzeł musi być czerwony
  4. DKorzeń musi być czerwony
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
10361520181941913ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź GB
  9. 9krawędź GC
  10. 10krawędź GD
  11. 11krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

D · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Problem spełnialności formuł logicznych (SAT) jest NP-zupełny

Dlaczego to jest odpowiedź

Cook i Levin niezależnie wykazali, że każdy problem z NP redukuje się do SAT w czasie wielomianowym, więc SAT był pierwszym znanym problemem NP-zupełnym.

Odpowiedź

C · Problem spełnialności formuł logicznych (SAT) jest NP-zupełny
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzięki wartownikowi każdy rzeczywisty węzeł ma poprzednika, więc wstawianie lub usuwanie na początku nie wymaga specjalnej obsługi.

Odpowiedź

A · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów

Dlaczego to jest odpowiedź

Zasady drzewa czerwono-czarnego: węzły są czerwone lub czarne, korzeń jest czarny, czerwone węzły mają czarne dzieci, a wszystkie ścieżki mają równą czarną wysokość, co utrzymuje wysokość ≤ 2 log₂(n + 1).

Odpowiedź

A · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 17

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

Odpowiedź

L = 17

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. EF (1)
2. BC (3)
3. GC (4)
4. BD (6)
5. AB (10)
6. GE (13)

numer krawędzi 2

BC

Odpowiedź

krawędź BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms