Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dla którego wariantu problemu plecakowego reguła zachłanna „bierz przedmioty według wartości na jednostkę wagi" zawsze daje optymalną odpowiedź?

  1. ADyskretnego problemu plecakowego 0/1, w którym przedmioty zawsze trzeba brać w całości
  2. BObu wariantów
  3. CCiągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
  4. DŻadnego z wariantów
3.Struktury danychŚredni

Która metoda rozwiązywania kolizji przechowuje kolidujące klucze w liście w tym samym kubełku?

  1. ASondowanie liniowe
  2. BŁańcuchowanie (separate chaining)
  3. CSondowanie kwadratowe
  4. DHaszowanie podwójne
4.Struktury danychTrudny

Co robi drzewo splay po każdym dostępie?

  1. APrzekolorowuje węzły na ścieżce wyszukiwania
  2. BPrzenosi odwiedzony węzeł do liścia
  3. CBuduje całe drzewo od nowa w formie zrównoważonej
  4. DRotacjami przenosi odwiedzony węzeł do korzenia
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K4
H =
6.Teoria grafówTrudny
11109210364ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Praca sumuje się do około n² / 2; to rekurencja sortowania przez wybieranie lub quicksorta z najgorszym elementem osiowym.

Odpowiedź

D · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy przedmioty można dzielić, wybór najpierw najlepszego stosunku jest optymalny; w problemie 0/1 przedmiot o wysokim stosunku może zablokować lepszą kombinację, więc potrzebne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

C · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Łańcuchowanie (separate chaining)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łańcuchowanie utrzymuje listę wiązaną (lub inną strukturę) dla każdego kubełka; adresowanie otwarte szuka innego wolnego miejsca w samej tablicy.

Odpowiedź

B · Łańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Rotacjami przenosi odwiedzony węzeł do korzenia

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacja splay przenosi odwiedzony węzeł do korzenia za pomocą rotacji; pojedyncza operacja może kosztować O(n), ale koszt zamortyzowany wynosi O(log n).

Odpowiedź

D · Rotacjami przenosi odwiedzony węzeł do korzenia
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: F

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): C: 11
2. C (11): B: 21, E: 13
3. E (13): D: 23, F: 19, B: 17
4. B (17)
5. F (19): D: 22
6. D (22)

runda 5

F

Odpowiedź

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms