Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Rozwiązaniem rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(n) jest:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie dotyczące P i NP jest prawdziwe?

  1. ARozwiązań problemów NP nie da się szybko zweryfikować
  2. BKażdy problem z klasy P należy również do NP
  3. CNP oznacza „niewielomianowy” (not polynomial)
  4. DUdowodniono, że P ≠ NP
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest pesymistyczna wysokość binarnego drzewa poszukiwań z n węzłami, jeśli klucze są wstawiane w kolejności posortowanej?

  1. An (drzewo staje się listą wiązaną)
  2. B1
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.Struktury danychTrudny

Czym drzewo radix (skompresowane trie) przewyższa zwykłe trie?

  1. APrzechowuje każde słowo w tablicy mieszającej w korzeniu zamiast w osobnych węzłach
  2. BZachowuje tylko pierwszą literę każdego słowa
  3. CSortuje dzieci każdego węzła według częstości
  4. DŁączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
18201174138116173ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem) dla a = 2, b = 2, f(n) = n wynika T(n) = Θ(n log n).

Odpowiedź

B · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Każdy problem z klasy P należy również do NP

Dlaczego to jest odpowiedź

P ⊆ NP: jeśli potrafisz szybko rozwiązać problem, potrafisz też szybko zweryfikować rozwiązanie. Pytanie, czy P = NP, wciąż pozostaje otwarte.

Odpowiedź

B · Każdy problem z klasy P należy również do NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · n (drzewo staje się listą wiązaną)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wstawianie posortowanych kluczy tworzy zdegenerowane drzewo o wysokości n, przez co wyszukiwanie ma złożoność O(n). Drzewa zrównoważone temu zapobiegają.

Odpowiedź

A · n (drzewo staje się listą wiązaną)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków

Dlaczego to jest odpowiedź

Zwinięcie ścieżek bez rozgałęzień zmniejsza liczbę węzłów i zużycie pamięci przy zachowaniu wyszukiwania po prefiksie.

Odpowiedź

D · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

B, C, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 41

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (1): weź
GE (3): weź
CE (4): weź
BD (7): weź
DF (8): weź
BC (11): pomiń, zamyka cykl
DE (13): pomiń, zamyka cykl
GB (16): pomiń, zamyka cykl
GD (17): pomiń, zamyka cykl
AB (18): weź

Łączna waga

W = 1 + 3 + 4 + 7 + 8 + 18 = 41

Odpowiedź

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms