Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaki jest czas działania sortowania pozycyjnego LSD (radix sort) dla n liczb całkowitych o d cyfrach w systemie o podstawie k?

  1. AO(n²)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(d(n + k))
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dyskretny problem plecakowy (0/1) rozwiązany programowaniem dynamicznym zajmuje czas O(nW). Dlaczego nazywa się to złożonością pseudowielomianową?

  1. APonieważ działa tylko dla W = 0
  2. BW jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
  3. CPonieważ algorytm jest randomizowany, a jego czas działania zmienia się przy każdych danych
  4. DPonieważ n jest zawsze małe
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia preorder?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. AGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  2. BNie zużywa dodatkowej pamięci
  3. COczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  4. DPrzechowuje klucze bez uporządkowania
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
14176920710118ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(d(n + k))

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z d przebiegów to sortowanie przez zliczanie kosztujące O(n + k), więc dla stałych d i k całość jest liniowa względem n.

Odpowiedź

D · O(d(n + k))
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W

Dlaczego to jest odpowiedź

Czas działania jest wielomianowy względem wartości W, ale wykładniczy względem jej długości (log W bitów); dyskretny problem plecakowy jest NP-zupełny.

Odpowiedź

B · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 1 2 4 5 3

Dlaczego to jest odpowiedź

Preorder odwiedza 1, potem jego lewe poddrzewo (2, 4, 5), potem 3; pozostałe odpowiedzi to inorder, postorder i przejście poziomami.

Odpowiedź

D · 1 2 4 5 3
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 54

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (6): weź
DF (7): weź
GE (8): weź
BD (9): weź
GC (10): weź
GD (11): pomiń, zamyka cykl
AB (14): weź

Łączna waga

W = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 14 = 54

Odpowiedź

W = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms