Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile poziomów ma rekurencja sortowania przez scalanie dla tablicy n elementów?

  1. AOkoło √n
  2. BOkoło n
  3. COkoło n / 2
  4. DOkoło log₂ n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o wyborze k-tego najmniejszego elementu nieposortowanej tablicy jest poprawne?

  1. AWybór zawsze wymaga Ω(n log n), bo wymaga sortowania
  2. BWybór jest możliwy tylko w O(n²)
  3. CQuickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
  4. DQuickselect działa w O(log n) w najgorszym przypadku, bo schodzi rekurencyjnie tylko po jednej stronie piwota
3.Struktury danychŚredni

Masz referencję do węzła w środku listy. W której liście możesz go usunąć w O(1)?

  1. AW tablicy dynamicznej
  2. BW liście dwukierunkowej
  3. CW liście jednokierunkowej
  4. DW posortowanej tablicy
4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

  1. ABy utrzymać tablicę posortowaną
  2. BBo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
  3. CBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów
  4. DBy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
638981132154ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 6; sam A to runda 1.

start: Arunda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Około log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowienie od n do 1 wymaga około log₂ n poziomów, a każdy poziom wykonuje O(n) pracy scalania, co daje O(n log n).

Odpowiedź

D · Około log₂ n
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku

Dlaczego to jest odpowiedź

Oczekiwana praca quickselecta to n + n/2 + n/4 + ... = O(n) przy losowych elementach osiowych; wybór elementu osiowego jako mediany median daje liniowy najgorszy przypadek.

Odpowiedź

C · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · W liście dwukierunkowej

Dlaczego to jest odpowiedź

Węzeł listy dwukierunkowej zna swojego poprzednika, więc można bezpośrednio połączyć prev z next; w liście jednokierunkowej trzeba szukać poprzednika.

Odpowiedź

B · W liście dwukierunkowej
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

D · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 14

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 34 = 2(L + 11) − 2
L = 14

Odpowiedź

L = 14

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 6, C: 3
2. C (3): E: 11
3. B (6): D: 15, G: 8
4. G (8)
5. E (11): D: 12, F: 24
6. D (12)
7. F (24)

runda 6

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms